До сих пор мы рассматривали гармоники лишь как му­зыкальный феномен. Однако гармоники порождаются любой формой вибрации. Слуховые возможности чело­века далеко не беспредельны. Но тот факт, что наше ухо способно воспринимать колебания лишь от 16 до 25 000 Гц, вовсе не означает, что за пределами этого ог­раниченного диапазона не существует неисчислимого множества звуковых волн, которые мы просто не слы­шим. Вибрация порождает гармоники независимо от того, что именно является её источником. А поскольку Вселенная, по сути, и состоит из вибраций, то каждый заключенный в ней объект — от электрона, вращающе­гося вокруг ядра атома, до планеты, вращающейся вокруг звезды, — обладает собственным основным тоном и обертонами.

На острове Кротон располагалась школа Пифагора, где он посвящал неофитов в тайны Вселенной. Обучение в ней состояло из трех этапов. На первом уровне, где глав­ным учебным пособием служил монохорд, ученики-«акустики» овладевали умением распознавать и затем воспроизводить различные музыкальные интервалы. Второй уровень — ступень «математиков» — был посвящен собственно цифрам и вычислениям. Он же был этапом духовного и физического очищения и достижения полно­го контроля над эмоциями и помыслами. Ученик мог пе­рейти на следующий уровень лишь при условии, что и разум его, и тело достойны воспринять священное знание. На третьем, и высшем, этапе «избранные» ученики при­общались к таинствам духовного перерождения и исце­ления музыкой.

До наших дней дошли лишь скудные фрагменты того курса, которым завершалось обучение в школе Пифа­гора. Разработанные им теоремы и закон музыкальных интервалов сейчас являются неотъемлемым элементом математики и теории музыки, причем той их части, ко­торую мы используем в повседневной жизни. А его фи­лософские концепции, такие как «музыка сфер», находят применение во всё новых и новых эзотерических доктринах. Однако следует признать, что всё это — про­цессы последних лет. До недавнего времени секреты исцеления с помощью звука и музыки были почти утра­чены.

(Монохорд — однострунный музыкальный инструмент, распространенный в Древней Греции и Риме, а также в Запад­ной Европе до XIX в.)

                                                              «Лямбдома».

Попытки восстановить тайное учение Пифагора о звуке не прекращаются и по сей день. Предметом особого инте­реса и горячих дискуссий среди учёных является загадоч­ная схема, именуемая «таблицей Пифагора» или «табли­цей лямбдомы». Считается, что «лямбдому» открыл Пи­фагор, а неопифагореец Ямвлих сохранил её для потомков. «Лямбдома» — древняя теория, стоящая на стыке мате­матики и музыки и связывающая музыку с учением о ма­тематических соотношениях.

«Лямбдома» издавна привлекала к себе внимание ма­тематиков и других учёных. Считается, что она таит в себе глубокое эзотерическое знание о взаимоотношениях материи и духа, а также что она представляет собой число­вое отображение Мировой Души.

«Таблица лямбдомы» состоит из двух частей. В одной представлены частоты, соответствующие делению струны. Во второй — гармонические ряды, соответствующие этим частотам.

                                                 Теория Кайзера и «лямбдома».

В 20-е гг. XX в. немецкий учёный Ганс Кайзер разработал на основе «лямбдомы» теорию мировых гармоник. Он об­наружил, что принципы гармонической структуры в приро­де описываются законом соотношения звуковых гармоник. Самого себя и последователей своей теории Кайзер окре­стил «гармонистами». Много лет он посвятил возрожде­нию науки о гармониках, стремясь вернуть ей былую славу. Исследование принципов, лежащих в основе взаимосвязи между музыкой и математикой, считал Кайзер, позволяет вывести законы взаимосвязи между тонами и числами.

Таким образом, становится возможным выводить качество (тон, слуховое восприятие частоты) из количества (число) и, наоборот, количество из качества. В своей работе «Акроазис» (греч. — «слух, слуховое восприятие») Кайзер писал:

«Западная наука родилась в тот момент, когда была от­крыта и получила числовое выражение взаимосвязь меж­ду высотой тона и длиной струны — то есть была создана формула, позволяющая с предельной точностью выводить качество (высоту тона) из количества (длины струны или волны)».

По мнению Кайзера, утрата этого древнего учения и стала причиной того, что между понятиями «наука» и «душа» пролегла непреодолимая пропасть. Однако он не переставал надеяться, что, преодолев забвение, на­ука о гармониках вновь свяжет в единое целое материю и дух.

В соответствии с теорией Кайзера, принцип соотноше­ния целых чисел лежит в основе не только учения о гармо­никах, но и множества других наук о живой и неживой природе — химии, физики, кристаллографии, астрономии, архитектуры, спектрального анализа, ботаники. Этот прин­цип нашел отражение не только в представлении о струк­туре звука, но и в периодической таблице элементов, и в учении о строении почвы.

Приведу ещё один отрывок из «Акроазиса», где Кайзер рассуждает о взаимосвязи между гармоническими рядами и листьями растений:

«Если спроецировать все тоны в пределы одной октавы (как это сделал Кеплер в своей "Harmonice mundi"), про­рисовав все соединительные отрезки, в результате полу­чится схематическое изображение листа растения. Из этого следует, что октава, этот краеугольный камень любой му­зыкальной системы и основа слухового восприятия музы­ки, заключает в себе форму листа. Таким образом, получа­ет новое, «психологическое» подтверждение теория Гёте об эволюции растений, выводящая, как известно, много­образие растительных форм из простейшей формы листа. Многообразие форм цветка — 2 (4, 8...), 3 (6, 12...), 5 (10...) — можно рассматривать с точки зрения гармо­нии в качестве морфологических параллелей, соответству­ющих интервалам трезвучия... Только представьте себе, что это означает, когда в одном цветке одного растения проявля­ется точное деление на три и в то же самое время — на пять. Даже самым ярым скептикам придется признать, что в душе каждого растения заключен некий формообразующий прото­тип (в данном примере — терции и квинты), придающий цветку, как и музыке, определенную форму по сходству с му­зыкальными интервалами».

                                                      Гармоники в архитектуре.

В рамках своего учения о звуке Кайзер разработал тео­рию взаимосвязи законов гармоник и архитектуры. Впро­чем, эту взаимосвязь ещё веком раньше подметил Гёте, которому принадлежит знаменитое высказывание: «Ар­хитектура — это застывшая музыка». В такой афорис­тичной форме Гёте выразил идею о том, что принцип со­отношения гармоник приложим и к области конструкций и сооружений. Далеко не все формы, встречающиеся в геометрии и природе, подчинены закону гармонических соотношений, но, по мнению Кайзера, именно формы, соотносящиеся с гармоническими рядами, представляются нам наиболее красивыми. Особенной соразмерностью и гармоничностью отличаются те конструкции, между составными элементами которых существует соотношение, основанное на октаве (2:1), кварте (3:2) и терции (5:4). Этот закон был прекрасно известен в древних школах ми­стерий. Не случайно самые прекрасные из афинских, рим­ских и египетских храмов основаны именно на этих про­порциях.

Таблица 2.2.

Целочисленные соотношения в гармонических рядах.

Октава 1:2

Квинта 2:3

Кварта 3:4

Большая секста 3:5

Большая терция 4:5

Малая терция 5:6

Малая секста 5:8

Малая септима 5:9

Большая секунда 8:9

Большая септима 8:15

Малая секунда 15:16

Тритон 32:45

Реалист

Владимир, музыкантам в этом будет легче разобраться, но и у меня есть кой-какие наметки... вот теперь "Тимея" можно заново перечитывать...

Формы музыки.

Среди множества редкостей и диковин, обнаруживаемых исследователями в многотысячелетней истории народов Востока, иногда попадаются вещи, очень занятные с точки зрения физики. Вроде, скажем, поющего бронзового тазика-фонтана из древнего Китая времен правления династии Мин (1368-1644).

На первый взгляд, этот плоский металлический сосуд с двумя ручками по бокам ничем особенным не отличается от другой посуды своей эпохи, разве что украшающим дно тазика барельефом из четырех рыб, испускающих фонтаны воды. Но если в чашу наливают воду, а мокрыми пальцами начинают ритмично тереть ручки, то таз откликается характерным гудением, а затем вода в нем приходит в заметное волнение, словно закипая. В итоге же, если тереть ручки умело, то из нескольких, обычно четырех точек поверхности – как раз над головами рыб с барельефа – вверх начинают бить струйки воды, словно это не тазик, а небольшой фонтан.

Кто и когда придумал столь впечатляющий фокус в Древнем Китае, историкам, ясное дело, неведомо. Зато физикам суть явления представляется вполне понятной и весьма близкой куда более известному застольному трюку с бокалами для шампанского, которые начинают петь, когда по их ободу водят мокрым пальцем. Если с подобным стеклянным бокалом, наполненным водой, аккуратно поэкспериментировать, прикладывая ритмичное трение не к ободу, а к стенке, то можно воспроизвести и возникновение ряби на поверхности, и вообще упрощённую картину того, что делает китайский таз-фонтан.

Из-за трения мокрых пальцев в сосуде порождаются ритмичные колебания его стенок. Волны этих колебаний передаются по воде от одной стенки сосуда к другой. Дойдя до противоположной стенки, они отражаются от нее и идут обратно, навстречу колебаниям от другой стенки, так что прямые и отраженные волны складываются. Из-за интерференции волн и формы сосуда амплитуды колебаний в определённых точках поверхности многократно возрастают. Образуются так называемые стоячие волны с характерными для них пучностями и узлами. Точки, где вода остается неподвижной, принято называть узлами стоячих волн. Те же места, где вверх начинают бить струйки воды, соответствуют пучностям этих волн. Иначе говоря, необычные фонтаны в поющем китайском тазике оказываются хотя и очень эффектным, но в то же время вполне естественным следствием физики волн.

Говоря о физической теории стоячих волн, в своем развитии теснейшим образом связанной с акустикой как наукой о звуке, никак нельзя обойти стороной идеи и открытия пионера этого направления, германского физика-самоучки Эрнста  Хладни  (1756-1827). Сам он, правда, называл себя странствующим артистом-учёным. Что вполне справедливо, поскольку для пропаганды своих открытий  Хладни  практиковал оригинальную форму гастрольных выступлений, с которыми за несколько десятилетий объездил великое множество городов Европы от Франции до России. В этих выступлениях научные лекции об открытиях в акустике органично сочетались докладчиком с исполнением музыкальных произведений на необычных инструментах собственного изобретения.

Один из знаменитых инструментов  Хладни  под названием эуфон, то есть «благозвучный» в переводе с языка древних греков, работал на основе того же, в сущности, принципа, что и поющий китайский тазик. Эуфон представлял собой набор небольших стеклянных трубочек, издававших звуки под действием продольных движений, которые совершали по их поверхности смоченные пальцы исполнителя. Существенно усиленное резонатором, приятное и красивое звучание трубочек эуфона производило на современников большое впечатление. Благодаря публикациям в прессе, изобретатель и его новый инструмент стали быстро обретать известность поначалу в Германии, затем в Англии и других странах. Этот успех, собственно, и послужил начальным толчком к идее о гастрольных поездках, сочетающих музыку и науку. Благо и в научной области  Хладни  изобрел весьма эффектные опыты-демонстрации.

В тот же самый период, когда им был придуман и сконструирован эуфон, учёный сделал также свое главное открытие в акустике, вошедшее в историю как «звуковые фигуры  Хладни ». Подробное описание этих фигур появилось в первом научном сочинении исследователя «Открытия в теории звука», опубликованном в 1787 году. В работе были приведены рисунки красивых орнаментов и узоров из симметричных фигур, образующихся под действием скрипичного смычка на плоском листе металла, поверхность которого посыпана мелким сухим песком. В случае круглой пластины скопления песка вдоль узловых линий могут давать узоры круговой или радиальной структуры. На пластинах же прямоугольной формы или с несколькими прямыми краями, узловые линии ориентированы по направлениям, параллельным сторонам или диагоналям. Меняя точки закрепления пластин и места их возбуждения смычком, Хладни  получал разнообразные формы фигур, соответствующие различным собственным частотам колебаний пластин.

Теоретическое объяснение для всей этой красоты будет получено лишь в XIX веке, значительно позже экспериментального открытия фигур. Придуманная же Эрнстом  Хладни  техника для визуализации звука и образуемых им геометрических форм не только чрезвычайно впечатлила современников, но и плодотворно используется по сию пору. Разные вариации этого метода применяются, скажем, мастерами, разрабатывающими новые конструкции корпусов для акустических инструментов вроде гитар, скрипок и виолончелей. Или инженерами – для изучения собственных частот у мембран телефонных трубок, микрофонов и других электроакустических устройств. Вместо смычка, правда, с XX века стали предпочитать динамик громкоговорителя или пьезокристаллический элемент, подавая на них фиксированную частоту от электронного генератора сигналов. Благодаря этому обеспечиваются более стабильные и точно настраиваемые частоты колебаний.

С тех пор, как фигуры  Хладни  вошли в повседневный рабочий инструментарий целого ряда профессий, люди почти перестали обращать внимание на красоту и богатство этого явления. Считая его, вероятно, уже полностью изученным и постигнутым. Среди тех немногих, кто не утратил способности удивляться, оказались по преимуществу художники, артисты и экспериментаторы-самоучки. Благодаря их энтузиазму и общему прогрессу технологий во второй половине XX века удалось получить множество новых интереснейших результатов в физике фигур  Хладни . Что продемонстрировало тесную связь форм, порождаемых звуком, со множеством смежных областей науки, включая теорию хаоса, биологию и квантовую физику.

В течение 1950-60-х годов поистине грандиозное множество разнообразных экспериментов провел в этой области швейцарский врач и художник Ханс Йенни (1904-1972). Для своих опытов Йенни сам конструировал приборы, в широком диапазоне колебаний изучая поведение различных веществ от песка, пудры и мельчайших спор растений до воды, вязких жидкостей и густых паст. Ошеломляющее богатство получаемых при этом структур, форм и режимов их движения в вибрирующей среде произвели на исследователя столь мощное впечатление, что он был уверен в открытии самостоятельной научной области. Свою новую науку Йенни назвал Киматикой (от греческого «кима» – волна), желая подчеркнуть ключевую роль волновых эффектов в исследуемых явлениях. Такое же название, «Киматика: структура и динамика волн и вибраций», получила книга экспериментатора, вышедшая в 1967 году с итоговым обобщением его результатов.

Среди наиболее существенных эффектов, отмеченных в опытах Йенни и без проблем воспроизводимых в других лабораториях, можно отметить такие:

Для жидкостей и мелкодисперсных пудр процессы образования фигур  Хладни, в сравнении в вибрациями песка идут с точностью до наоборот. Иными словами, при колебаниях жидкости на мембране, вода скапливается в зонах пучностей или наибольших вибраций, уходя из неподвижных узловых линий, где обычно скапливается песок. В своих экспериментах Йенни использовал пьезокристаллические осцилляторы, что позволяло ему точно задавать желаемые частоты и амплитуды синусоидальных колебаний. Как правило, постепенное увеличение частоты вибраций приводило к последовательному возрастанию сложности и числа элементов в формируемых структурах. Переход от одной фигуры к другой проходил скачкообразно – устойчивая структура с ростом частоты рассыпалась в хаотическую бесформенную массу, а затем при следующей «частоте порядка» формировалась фигура более сложной структуры.

Как правило, образующиеся при фиксированных параметрах фигуры имели устойчивый статичный характер. Но кроме того, Йенни обнаружил, что имеются определённые сочетания из собственных свойств материала и частоты / амплитуды колебаний мембраны, при которых порождаемые формы могли изменяться и находиться в движении непрерывно – несмотря на постоянные параметры системы. Для случая жидкостей, в частности, вибрации порождали вихревое движение – спирали и волнообразные структуры в состоянии непрерывной циркуляции.

Впечатляющие, но дилетантские по сути эксперименты Ханса Йенни остались практически незамеченными в мире большой науки. Зато их с воодушевлением стали развивать художники, дизайнеры и прочие любители-энтузиасты, уловившие здесь несомненную эстетическую красоту и чуть ли не безграничный потенциал для творчества. Фигуры, порождаемые с помощью звука, демонстрируют удивительное разнообразие форм и гармоничность пропорций.

В этих формах без труда можно распознать структуры, повсеместно встречающиеся в природе – в строении раковин, цветов, кактусов, других растений и животных. Особенно простейших организмов или обитающих в воде, вроде медуз или морских звёзд. Параллели с творениями природы становятся особо убедительными, когда экспериментаторам удается формировать не плоские, а объёмные фигуры в трехмерном пространстве. Например, заполняя дымом ящик с прозрачными стеклянными стенками и подбирая особые звуки, удавалось формировать в воздухе структуры, очень похожие на листья папоротника.

Другое плодотворное направление для экспериментов с фигурами  Хладни связано с лазерными эффектами в шоу-бизнесе. Уже довольно давно, на рубеже 1960-1970-х годов было установлено, что отраженный от объектов и рассеянный в среде свет лазера формирует наглядные интерференционные картины, аналогичные фигурам  Хладни . Причем для колебаний света, подобно жидкостям и газам, такие фигуры образуются по принципу, обратному вибрациям песка на мембране. То есть наиболее яркие участки света приходятся не на узлы стоячих волн, а на пучности колебаний, иначе именуемые антиузлами. Поскольку фигуры  Хладни  при модуляции лазерного света музыкой испытывают постоянную трансформацию, это позволило создать весьма эффектную проекционную аппаратуру для сопровождения эстрадных программ и лазерно-дымовых шоу.

Наконец, говоря о полезных и наглядных приложениях фигур Хладни, никак нельзя обойти стороной квантовую механику. Ибо здесь модель акустических стоячих волн и собственных резонансных колебаний оказывается чрезвычайно удобной и внятной аналогией, поясняющей физику электронных оболочек в атоме. Электрон, как известно, можно представлять в виде бегущей волны энергии. А в атоме эта волна оказывается замкнута притягивающим потенциалом ядра. Иначе говоря, подобна колеблющейся струне гитары. И подобно тому, как корпус гитары резонирует лишь на дискретный набор звуков с определенными длинами волн, так и в атоме электроны могут занимать лишь определенные орбиты, соответствующие стоячим волнам или режимам собственных колебаний атома. Поэтому вовсе не случайность, что некоторые из фигур  Хладни, при определенных частотах звука, образуемые в круглой ёмкости с жидкостью, по своей форме аналогичны электронным оболочкам в атоме.

http://kniganews.org/map/e/01-00/hex4d/